Sunday, June 09, 2013

Com um simples azulejo (actividades no Departamento de Matemática da FCUL)


Actividades no DM - do 4º ano ao 7º ano de escolaridade
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Actividade - "Com um simples azulejo" - para alunos do 3º ano ao 7ºano de escolaridade a realizar no Departamento de Matemática  da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
As visitas, com marcação prévia, decorrerão entre as 14h  e as 16h, de  2ª a 6ª feira, durante o próximo mês de Junho, envolvendo, em cada sessão até 30 alunos.
As actividades são gratuitas. Os alunos deverão trazer lápis, borracha, tesoura e marcadores ou lápis de cor.
Informações e marcação prévia  dm_divulgação@fc.ul.pt

Saturday, May 25, 2013

ALCIPE

Leonor de Almeida Portugal (Wikipedia) (Marquesa de Alorna, "Alcipe")

Fotografia de Eduardo Nery. Veja mais fotografias aqui:
Novo Jardim e Laranjal no Palácio Fronteira, Lisboa- Azulejo/Tile
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Sozinha no bosque
com meus pensamentos.
calei as saudades,
fiz trégua aos tormentos.

Olhei para a Lua,
que as sombras rasgava,
nas trémulas águas
seus raios soltava.

Naquela torrente
que vai despedida,
encontro, assustada,
a imagem da vida.

Do peito, em que as dores
já iam cessar,
revoa a tristeza,
e torno a pensar.

Marquesa de Alorna (Alcipe)

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Vídeo:
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(Carlos Paredes)
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Palácio Fronteira:

Sunday, April 21, 2013

Estudos para painéis de azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio


Consideramos o caso em que há um centro de rotação no meio do azulejo e utilizaremos, para começar, um azulejo sem outras simetrias próprias como na Figura d em Simetrias próprias dos azulejos.
Uma das possibilidades mais evidentes e não triviais, mas elementares, é a de reunir quatro azulejos em torno de um dos vértices e, em seguida, obter um painel fazendo translações.
Para maior clareza e para considerar todas as situações de uma forma exaustiva, numeremos os vértices no sentido direto (o contrário ao dos ponteiros do relógio): 1, 2, 1 e 2. O vértice 1 é o do canto superior direito na posição em que está o azulejo da Figura 1d em Simetrias próprias dos azulejos
. Em torno desse vértice reuniremos mais três azulejos. Para cada um dos três restantes há duas maneiras de os colocar o que dá, ao todo, 8 (2×2×2) possibilidades. De facto, notando os três cantos restantes p, q e r, como mostram as Figuras 6-8 em O azulejo articulado de Eduardo Nery, formamos um quadrado com quatro azulejos (1pqr). Ordenando todas as possibilidades por ordem crescente, obtemos que no conjunto, de quatro azulejos de ordem n, n é dado pela fórmula n=4(p-1)+2(q-1)+ r. Para p, q, r =1, 2, vem n=1, 2, ..., 8.
Depois, trata-se de fazer as translações. Há três possibilidades para as translações: paralelamente aos lados (translações de duas unidades na vertical e translações de duas unidades na horizontal, como mostra a Figura 6
em O azulejo...); translações de duas unidades na horizontal e translações oblíquas (de duas unidades na vertical e de uma unidade na horizontal, como mostra a Figura 7 em O azulejo...); translações de duas unidades na vertical e translações oblíquas (de duas unidades na horizontal e de uma unidade na vertical, como mostra a Figura 8 em O azulejo...). Tudo somado, há 24 (8×3) possibilidades, numeradas de 1 a 8, de 1’ a 8’ e de 1’’ a 8’’, respectivamente.
Nos 24 painéis possíveis, há repetições e equivalências no sentido em que um painel pode ser obtido de outro por translações e rotações. O leitor verifique que há 7 possibilidades diferentes, contadas assim:
1
; 2=3, 5, 8; 4=7, 7', 4''; 6=6', 6''; 1'=4', 1'', 7''; 2'=5', 8', 3''; 3'=2'', 5'', 8''.
Suponhamos agora que o azulejo tem eixo de reflexão numa diagonal (Figura g em
Simetrias...). Reservemos o número 1 para os vértices que contêm essa diagonal. Colocando o azulejo ao espelho, vê-se precisamente a mesma imagem só que os vértices 2 trocam. Colocando os quatro azulejos ao espelho, os azulejos contados no sentido direto, aparecem na imagem no sentido retrógrado. O leitor verifique que há: com reflexão, 5; sem reflexão: 2 (2' e 3' são reflexos um do outro); se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 6 possibilidades. 
Se, em vez de ser na diagonal o eixo de reflexão for numa mediana (Figura f em Simetrias...), as possibilidades repartem-se assim: com reflexão, 7; sem reflexão: 0.
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Ver:

Thursday, April 18, 2013

Azulejos articulados com um eixo de reflexão numa mediana

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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis compostos por cópias de um único azulejo com um eixo de reflexão numa mediana. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery; aqui, a mediana reflecte o vértice 1 no vértice 2 e o vértice 3 no vértice 4). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Nas colunas seguintes estão as áreas e os grupos de simetria referentes a azulejos articulados. As discrepâncias entre eles e os azulejos comuns estão apenas em três painéis: o 11 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo pg); o 28 (nos "comuns" a área é 1 e o grupo pm); e o 58 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo c2mm). Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.
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Ver:
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Wednesday, April 17, 2013

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery comparado com um azulejo só com um eixo de reflexão numa diagonal

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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Na terceira coluna está a área de uma região fundamental. Na quarta coluna está o grupo de simetria. A vermelho, estão os dados do azulejo comum, só com um eixo de reflexão numa diagonal, nos cinco casos em que há divergências com o azulejo de Eduardo Nery. Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.
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Ver:

Tuesday, April 16, 2013

Simetrias próprias dos azulejos

A figura representa todos os oito grupos de simetrias próprias que podem ocorrer nos azulejos quadrados. Pequenos círculos com um número são centros de rotação (de ordem 2 ou 4). Segmentos vermelhos são eixos de reflexão. As simetrias próprias de um azulejo não traduzem completamente as propriedades matemáticas do azulejo quando inserido num painel, como se pode constatar no artigo O azulejo articulado de Eduardo Nery.

Para ver diferentes azulejos com estas simetrias, consulte:
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Ver:

Sunday, April 14, 2013

Simetrias próprias de azulejos de Almada Negreiros

Fotografia retirada de aqui.
 Fotografia retirada de aqui.

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Ver ainda:
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Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um eixo de reflexão numa mediana, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 4 no meio. Refiro-me só aos azulejos com traços escuros; os outros, sem traço escuros, têm um centro de rotação de ordem 4 no meio e quatro eixos de reflexão (dois nas diagonais e dois nas medianas).

Friday, April 12, 2013

Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Rio Atlântica Hotel - Rio de Janeiro

Painel de azulejos, Terraço do Rio Atlântica Hotel, 1989. Foto: Tuca Reinés
Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 2 no meio e dois eixos de reflexão nas diagonais.


Ver neste blogue:
Ver ainda:

Wednesday, March 27, 2013

Articulated tiles / Azulejos articulados

Consider infinitely many copies of a single square tile and cover the plane with them, without gaps and without overlaps (a tiling of the plane), with the vertices making a square point lattice. Choose a point in a tile. If there is a tiling of the plane where this point is a rotation center of order n, one says that it is a rotation center of order n of the tile itself.
Tiles can only have two or four rotation centers of order 4 located in the middle of the edges.
Articulated tiles have two, and only two, rotation centers of order 4 in the middle of two edges; this means that the other two are not rotation centers of order 4. Moreover, they have a natural ''division'' in the four squares that one can obtain by drawing the two lines that connect the middle of oposite edges. These squares form a kind of matrix with two rows and two columns (2×2).
Articulated tiles must also have some other properties that classify them in three disjoint families.
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Properties of the three families of articulated tiles:
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a) The first family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two edges with a common vertice. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.

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b) The second family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. If one translates (exchanges) the two small squares of each diagonal of the tile, the tile does not change.
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c) The third family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.
 
See also: